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常微分方程学习活动4
第二章 基本定理的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次,内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习,目的是通过综合性练习作业,同学们可以检验自己的学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握.
要求:首先请同学们下载作业附件文档并进行填写,文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务,然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上,随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1. 方程 的任一非零解   与x轴相交.
2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的     条件.
3. 方程 + ysinx = ex的任一解的存在区间必是 .
4.一阶显式方程解的最大存在区间一定是 .
5.方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是     .
6.方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是     .
7.方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是     .
8.方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是     .
9.方程 满足解的存在惟一性定理条件的区域是     .
10.一个不可延展解的存在在区间一定是 区间.
二、计算题
1.判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一?
(1) (2)
2.讨论方程 在怎样的区域中满足定理2.2的条件.并求通过 的一切解.
3.判断下列方程是否有奇解?如果有奇解,求出奇解.
(1) (2)
三、证明题
1.试证明:对于任意的 及满足条件 的 ,方程 的解 在 上存在.
2.设 在整个平面上连续有界,对 有连续偏导数,试证明方程 的任一解 在区间 上有定义.
3.设 在区间 上连续.试证明方程

的所有解的存在区间必为 .
4.在方程 中,已知 , 在 上连续,且 .求证:对任意 和 ,满足初值条件 的解 的存在区间必为 .
5.假设方程 在全平面上满足解的存在惟一性定理条件,且 , 是定义在区间I上的两个解.求证:若 < , ,则在区间I上必有 < 成立.
6.设 是方程

的非零解,其中 在 上连续.求证:当 时,必有 .
7.设 在 上连续可微,求证:对任意的 , ,方程

满足初值条件 的解必在 上存在.
8.证明:一阶微分方程
的任一解的存在区间必是 .
四、应用题
1.求一曲线,具有如下性质:曲线上任一点的切线,在 轴上的截距之和为1.
2.求一曲线,此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数 .