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常微分方程学习活动3
第一章 初等积分法的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次,内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习,目的是通过综合性练习作业,同学们可以检验自己的学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握.
要求:首先请同学们下载作业附件文档并进行填写,文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务,然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上,随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1.微分方程 是 阶微分方程.
2.初值问题 的解所满足的积分方程是 .
3.微分方程 是 .(就方程可积类型而言)
4.微分方程 是 .(就方程可积类型而言)
5.微分方程 是 .(就方程可积类型而言)
6.微分方程 的所有常数解是     .
7.微分方程 的常数解是 .
8.微分方程 的通解为     .
9.微分方程 的通解是 ..
10.一阶微分方程的一个特解的图像是     维空间上的一条曲线.
二、计算题
1.指出下列方程的阶数,是否是线性方程:
(1)
(2)
(3)
2.用分离变量法求解下列方程:
(1)
(2)
(3)
3.解下列齐次线性微分方程
(1)
(2)
4.解下列一阶线性微分方程:
(1)
(2)
5.解下列伯努利方程
(1)
(2)
6.解下列全微分方程:
(1)
(2)
7.求下列方程的积分因子和积分:
(1)
(2)
8.求解下列一阶隐式微分方程
(1)
(2)
9.求解下列方程
(1)
(2)
三、证明题
1.设函数 , 在 上连续,且 , (a, b为常数).求证:方程 的一切解在 上有界.
2.设 在 上连续,且 ,求证:方程
的一切解 ,均有 .
四、应用题
1.按牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已知空气温度为 , 而物体在15分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到 所需的时间.
2.重为100kg的物体,在与水平面成30?的斜面上由静止状态下滑,如果不计磨擦,试求:
(1)物体运动的微分方程;
(2)求5 s后物体下滑的距离,以及此时的速度和加速度.