山东广播电视大学 试卷号5028《初等数论》课程复习提纲

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开放教育《初等数论》课程复习提纲

   各章基本知识点和重点知识点

第一章 整数的整除性理论

教学目的与要求：

整除、公因子、素数的概念及性质，剩余定理，求最大公因子的方法，整数的素数分解定理。

教学内容：

1.1整除性、公因数、公倍数

1.2素数与算术基本定理

1.3函数，及其应用

基本知识点：

1、整除性、公因数、公倍数

两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因子的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。

2、素数与整数的素因子分解

素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法（筛法）。

3、函数[x]、{x}及其应用

函数[x]与{x}的概念、性质、n!的素数分解、组合数为整数的性质。

4、抽屉原理

抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应用。

重点知识点：

1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。

2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。

3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。

4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。

第二章 不定方程

教学目的与要求：

二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。

教学内容：

2.1二元一次不定方程

2.2多元一次不定方程

2.3不定方程

基本知识点：

1、二元一次不定方程

二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。

• 多元一次不定方程

多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解的条件，求简单的多元一次不定方程的解。

• 不定方程

不定方程的整数解的形式，求形如的整数解。

 

重点知识点：

1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。

2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。

3、知道不定方程的整数解的形式，会求形如的整数解

第三章 一元同余理论

教学目的与要求：

剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，求解三次以下的同余式。

教学内容：

3.1同余的概念及性质

3.2剩余系、完全剩余系

3.3欧拉定理及其应用

3.4一次同余式

3.5中国剩余定理

3.6高次同余式

3.7素数模的高次同余式

基本知识点：

1、同余的概念及性质

整数同余的概念、同余的基本性质，整数具有素因子的条件，利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

2、剩余系、完全剩余系

剩余系、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法，欧拉函数的定义及性质。

3、欧拉定理及其应用

欧拉定理、Fermat小定理，循环小数的判定条件。

4、一次同余式

同余式的定义，一次同余式有解的条件，求解同余式。

5、中国剩余定理

中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组

重点知识点：

1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法，理解欧拉函数的定义及性质。

3、了解欧拉定理、Fermat小定理，掌握循环小数的判定方法。

4、理解同余式的定义，掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求解一次同余式。

5、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程组的方法。

第四章 平方剩余与原根

教学目的与要求：

模整数同余与模素数幂同余的关系, 欧拉判定法, 利用Legendre和Jacobi符号判断同余式的解的存在性,讨论同余式有解的条件及解的个数。

教学内容：

4.1二次同余式

4.2单素数的平方剩余

4.3 Legendre、Jacobi符号

4.4非素数模的二次同余式

4.5素数的平方和分解

4.6阶数

4.7原根存在的条件

4.8简化剩余系的构造

4.9指标

基本知识点：

• 二次同余式

二次同余式的一般形式，模整数同余与模素数幂同余的关系，平方剩余与平方非剩余的概念。

2、单素数的平方剩余

单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，单素数的平方剩余与平方非剩余的个数。

3、Legendre、Jacobi符号

Legendre符号的定义、性质，Jacobi符号的定义、性质，利用Legendre和Jacobi符号判断同余式的解的存在性。

4、非素数模的二次同余式

非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数。

5、素数的平方和分解

对素数p讨论不定方程有整数解的条件。

重点知识点：

1、理解二次同余式的一般形式、模整数同余与模素数幂同余的关系、平方剩余与平方非剩余的概念。

2、理解单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，了解单素数的平方剩余与平方非剩余的个数。

3、了解Legendre符号的定义、性质及Jacobi符号的定义、性质，熟练掌握利用Legendre和Jacobi符号判断同余式的解的存在性。

4、掌握非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数的有关结论。

5、会对素数p讨论不定方程有整数解的条件。

第五章 简单连分数

教学目的与要求：

简单连分数与实数的表出关系，循环连分数与二次不可约方程的关系。

教学内容：

5.1连分数的概念与性质

5.2实数表为连分数

5.3循环连分数

5.4连分数的应用

基本知识点：

连分数、渐进分数的概念，连分数与渐进分数的关系， 简单连分数与实数的表出关系，循环连分数与二次不可约方程的关系，循环连分数与二次不定方程的关系。

重点知识点：

简单连分数与实数的表出关系，循环连分数与二次不可约方程的关系，循环连分数与二次不定方程的关系。